最长回文子串 —— Manacher算法

问题定义

最长回文子串问题：给定一个字符串，求它的最长回文子串长度。

Manacher 算法

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = “#1#2#2#1#2#3#2#1#”。

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算 P[i] 呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）pos 和 mx，其中 pos 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心，mx 则为 pos+P[pos]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果 mx > i，那么 P[i] >= MIN(P[2 * pos - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

# 记j = 2 * pos - i，也就是说 j 是 i 关于 pos 的对称点(j = pos + (pos - i))
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else     # P[j] >= mx - i
    P[i] = mx - i     # P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。
end

借助下面的图来理解：

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[pos]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[pos]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[pos]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

在这里查看该算法的ruby实现。